Dirac-Spinor

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Ein Dirac-Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik, der nach Paul Dirac benannt ist. Dirac-Spinoren sind Elemente der fundamentalen Darstellung der komplexifizierten Clifford-Algebra und somit eine bestimmte Gattung von Spinoren (Vektoren). Sie sind ein nützliches Konzept der Quantenphysik.

Häufig als Dirac-Spinoren bezeichnet werden auch Lösungen der Dirac-Gleichung. Diese sind Dirac-Spinorfelder, d. h. jedem Punkt der Raumzeit wird ein vierdimensionaler Dirac-Spinor zugeordnet.

Mathematische Konstruktion

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Sei .

Die komplexifizierte Clifford-Algebra ist

  • isomorph zur Matrizenalgebra , falls gerade ist, oder
  • isomorph zur Matrizenalgebra , falls ungerade ist.

In jedem Fall hat sie eine kanonische -dimensionale Darstellung, die also für alle Signaturen mit existiert und auch eine Darstellung der Spin-Gruppe ist. Diese Darstellung heißt Spinor-Darstellung, die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac-Spinoren bezeichnet.

In geraden Dimensionen ist die Spinor-Darstellung, als Darstellung von betrachtet, reduzibel. Sie kann zerlegt in zwei Weyl-Spinoren der Dimension werden, es gibt also zwei Darstellungsräume, so dass . Die Darstellungen mit den Darstellungsräumen und auch für ungerade Dimensionen mit dem Raum sind irreduzibel.[1]

Anwendung in der Elementarteilchenphysik

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Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu , dienen in der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind Lösungen der Dirac-Gleichung. In String- und Branentheorien werden auch Dirac-Spinoren in höheren Dimensionen betrachtet.

Dagegen wurden Majorana-Fermionen bisher nicht gefunden, aber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt. Sie entsprechen reellen Darstellungen der Cliffordalgebren.

Einzelnachweise

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  1. Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie: mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie (= Advanced lectures in mathematics). Vieweg, Braunschweig Wiesbaden 1997, ISBN 978-3-528-06926-1, S. 22 ff.